RASYONEL SAYILAR
A. TANIM
a ve b tam sayı, b ¹ 0 olmak üzere, a/b
• 0/b=0 (
• a/0 ise tanımsızdır.
B. KESİR
Bir birimin bölündüğü eşit parçalardan birini veya bir kaçını göstermeye yarıyan sayılara kesir denir.
C. KESİR ÇEŞİTLERİ
1. Basit Kesir
İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.
Aşağıdaki sayı doğrusunda koyu ve kalın çizgi ile gösterilen noktalara karşılık gelen sayılar basit kesirdir.
 |
2. Bileşik Kesir
İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olmayan (büyük veya eşit olan) kesirlere bileşik kesir denir.
Aşağıdaki sayı doğrusunda koyu ve kalın çizgi ile gösterilen noktalara karşılık gelen sayılar bileşik kesirdir.
3. Tam Sayılı Kesir
Herhangi bir sayma sayısı ile birlikte yazılabilen kesirlere tam sayılı kesir denir.
birer tam sayılı kesirdir.
Her bileşik kesir bir tam sayılı kesir biçiminde yazılabilir.
•
•
D. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER
1. Genişletme ve Sadeleştirme
2. Denk Kesirler
biçiminde yazılır, “a bölü b kesri c bölü d kesrine denktir” diye okunur.
Her denk kesir aynı zamanda eşittir. Buna göre,
 |
3. Toplama - Çıkarma İşlemi
Toplama ve çıkarma işleminde payda eşitlenecek biçimde kesirler genişletilir ya da sadeleştirilir. Oluşan kesirlerin payları toplanır (ya da çıkarılır) ortak payda alınır.
•
•
4. Çarpma - Bölme İşlemi
•
•
 |
5. İşlem Önceliği
Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerinden bir kaçının birlikte bulunduğu rasyonel sayılarda işlemler, aşağıdaki sıraya göre yapılır.
1) Parantezler ve kesir çizgisi işleme yön verir.
2) Üslü işlemler varsa sonuçlandırılır.
3) Çarpma - bölme yapılır.
4) Toplama - çıkarma yapılır.
Toplama ile çıkarma işlemi kendi arasında öncelik taşımaz. Aynı şekilde çarpma ile bölme işlemi de kendi arasında öncelik taşımaz. Özelikle çarpma ile bölme de öncelik söz konusu ise bu parantezle belirlenmiştir.
|
E. ONDALIK KESİR
1. Ondalık Kesir
Bir rasyonel sayının payını paydasına böldüğümüzde bu rasyonel sayının ondalık açılımını buluruz. Bu ondalık açılıma ondalık kesir denir.
Burada a ya tam kısım, bcd ye de ondalıklı kısım denir.
2. Devirli (Periyodik) Ondalık Kesir
Bir ondalık kesirde ondalıklı kısım belli bir kurala göre tekrarlanıyorsa bu sayıya devirli ondalık kesir denir.
3. Ondalık Kesirlerde İşlemler
a. Toplama - Çıkarma: Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama - çıkarma işleminde olduğu gibi toplama - çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin hizasından virgülle ayrılır.
b. Çarpma: Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken, virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır.
c. Bölme: Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken, bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile çarpılır. Bölünen de aynı 10 un kuvveti ile çarpılarak bölme işlemi yapılır.
4. Devirli Ondalık Kesirlerin Rasyonel Sayıya Dönüştürülmesi
Bir devirli ondalık açılımı şeklinde yazarken;
Virgül ve devreden dikkate alınmadan; okunan sayıdan, devretmeyen sayıyı çıkararak paya yazılır.
Paydaya ise virgülden sonraki devreden basamak sayısı kadar 9 ve sağına devretmeyen basamak sayısı kadar sıfır yazılır.
a, b, c, d, e birer rakam olmak üzere,
Devreden 9 ise bir önceki rakam 1 artırılır.
 |
F. RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA
Pozitif kesirlerde sıralama yapılırken aşağıdaki yollardan biri kullanılır.
1. Yol
Paydaları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.
2. Yol
Payları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden paydası en küçük olan diğerlerinden daha büyüktür.
3. Yol
Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, pozitif basit kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.
Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, bileşik kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha küçüktür.
Yukarıda verilen yöntemler pozitif kesirlerde geçerlidir. Negatif kesirlerde ise durum tersinedir.
a ve n doğal sayı olsun.
n sabit iken a büyüdükçe
|
a ve n doğal sayı olsun.
n sabit iken a büyüdükçe (a+n)/a
|
G. İKİ RASYONEL SAYI ARASINDAKİ SAYILAR
  |
Gerçel sayılar (veya Reel sayılar), Rasyonel sayılar kümesinin standart metriğe göre bütünlenmesiyle elde edilen kümedir. Reel sayılar kümesi 
sembolüyle gösterilir.
Basit aritmetik teknikleriyle kolayca ispatlanabileceği üzere, tüm rasyonel sayıların tekrar eden birer ondalık açılımı vardır. Mesela
veya
eşitliklerinde olduğu gibi. Burada dikkat edilmesi gereken, ondalık basamaklardaki rakamların bir süre sonra bloklar halinde periyodik tekrar etme özelliğidir. Rasyonel sayılardan reel sayıları elde etme işlemini ise rasyonel sayılara ondalık açılımındaki rakamların periyodik tekrar etmediği sayıların eklenmesi olarak düşünülebilir. Bu tür sonradan elde ettiğimiz reel sayılara irrasyonel sayılar denir.
sembolüyle gösterilir.Basit aritmetik teknikleriyle kolayca ispatlanabileceği üzere, tüm rasyonel sayıların tekrar eden birer ondalık açılımı vardır. Mesela
veya
eşitliklerinde olduğu gibi. Burada dikkat edilmesi gereken, ondalık basamaklardaki rakamların bir süre sonra bloklar halinde periyodik tekrar etme özelliğidir. Rasyonel sayılardan reel sayıları elde etme işlemini ise rasyonel sayılara ondalık açılımındaki rakamların periyodik tekrar etmediği sayıların eklenmesi olarak düşünülebilir. Bu tür sonradan elde ettiğimiz reel sayılara irrasyonel sayılar denir.
İrrasyonel Sayılara Örnekler
Bazı Yan Bilgiler:
Bazı Yan Bilgiler:
- Tam kare olmayan hiçbir doğal sayının karekökü rasyonel değildir.
- Rasyonel sayılar kümesi'nin sayılabilir olmasına karşılık Reel sayılar kümesi sayılamazdır.
- İrrasyonel sayılar da kendi içlerinde "cebirsel sayılar" ve "aşkın sayılar" olarak ikiye ayrılırlar.
- İrrasyonel sayıların varlığının ilk Yunan matematikçi Pisagor tarafından anlaşılmış olduğu görüşü yaygındır. Fakat Pisagor bu sayıların evrenin düzenine aykırı olduğunu düşünmüş ve öğrencilerine bu sayıların varlığını açıklamayı yasaklamıştır.
- Arşimet Özelliği: x ve y birer reel sayı olsun ve x sıfırdan büyük olsun. Bu durumdanx > y özelliğini sağlayan bir n doğal sayısı vardır.
KÜMELER
Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir. Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.
Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,
a Î A biçiminde yazılır. “a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur. b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï A biçiminde yazılır. “b, A kümesinin
elemanı değildir.” diye okunur.
A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir.
Bu ifade “x ” biçiminde de yazılabilir.
Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir. Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.
Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,
a Î A biçiminde yazılır. “a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur. b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï A biçiminde yazılır. “b, A kümesinin
elemanı değildir.” diye okunur.
Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.
Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez.
B. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.
1. Liste Yöntemi
Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.
A = {a, b, {a, b, c}} Ş s(A) = 3 tür.
2. Ortak Özellik Yöntemi
Kümenin elemanları, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.
A = {x : (x in özelliği)}
Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.
Bu ifade “x ” biçiminde de yazılabilir.
3. Venn Şeması Yöntemi
Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ilegösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.
Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.
C. EŞİT KÜME, DENK KÜME
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir.
Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.
Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.
A kümesi B kümesine eşit ise A = B,
C kümesi D kümesine denk ise C º D biçiminde gösterilir.
Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.
D. BOŞ KÜME
Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş kümedenir.
Boş küme { } ya da Æ sembolleri ile gösterilir.
Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.
{.} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.
{Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.
{Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.
E. ALT KÜME - ÖZALT KÜME
1. Alt Küme
A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B'nin alt kümesi denir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì B biçiminde gösterilir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. B ÉA biçiminde gösterilir.
C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C Ë D biçiminde gösterilir.
2. Özalt Küme
Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.
3. Alt Kümenin Özellikleri
1) Her küme kendisinin alt kümesidir.
A Ì A
2) Boş küme her kümenin alt kümesidir.
Æ Ì A
3) (A Ì B ve B Ì A) Û A = B dir.
4) (A Ì B ve B Ì C) Ş A Ì C dir.
5) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2nve özalt kümelerinin sayısı 2n – 1 dir.
6) n elemanlı bir kümenin r tane (n ³ r) elemanlı alt kümelerinin sayısı
F. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER
1. Kümelerin Birleşimi
A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesidenir ve A È B biçiminde gösterilir.
A È B = {x : x Î A veya x Î B} dir.
2. Birleşim Işleminin Özellikleri
1) A È Æ = Ai
2) A È A = A
3) A ÈB = B È A
4) A È (B È C) = (A È B) È Cv) A Ì B ise, A È B = B
5) A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir.
3. Kümelerin Kesişimi
A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç B biçiminde gösterilir.
A Ç B = {x : x Î A ve x Î B} dir.
4. Kesişim Işleminin Özellikleri
1) A Ç Æ = Æ
2) A Ç A = A
3) A Ç B = B Ç A
4) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)
5) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
6) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)
G. EVRENSEL KÜME
Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir.
H. BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ
Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve A ya da A’ ile gösterilir.
A = {x : x Î E ve x Ï A, A Ì E} dir.
Tümleyenin Özellikleri
1) E = Æ
2) Æ = E
3) (
)= A
)= A
4) A È A = E ve A Ç A = Æ
5) A È B = A Ç B
6) A Ç B = A ÈB
7) E È A = E ve E Ç A = A
8) A Ì B ise, B Ì A dir.
İKİ KÜMENİN FARKI
A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir.
A – B = {x : x Î A ve x Ï B} dir.
Farkla İlgili Özellikler
A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,
1)E – A = A
2)A – B = A Ç B
3) A – B = A È B dir.
ELEMAN SAYISI
A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,
1) s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B)
2) s(A È B È C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A Ç B) – s(A Ç C) – s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)
3) s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A)
4) a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun.
Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:
s(T È V) = a + b + c
Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:
s(T – V) + s(V – T) = a + c
Sadece tenis oynayanların sayısı:
s(T – V) = a
Tenis oynamayanların sayısı:
s(T) = c + d
Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:
s(T È V) = a + b + c
Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı:
s(A Ç B) = s(A È B) + s(T – V) + s(V – T) = d + a + c
Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:
s(A ÈB) = d
Kombinasyon, bir nesne grubu içerisinden, sıra gözetmeksizin yapılan seçimlerdir.Diğer bir deyişle nesne grubuna karşılık gelen kümenin alt kümeleri olarak da adlandırılır. Çünkü, alt kümelerde sıra önemli değildir. O halde şöyle tanımlanabilir: Bir A kümesinin herhangi bir alt kümesine A kümesinin bir kombinasyonu denir. Örneğin, 24 öğrenci arasından seçeceğiniz 5 öğrenci, öğrencileri seçme sıranız önemli olmadığından bir kombinasyon problemidir.
Örnek:
UYARI : Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme sözkonusudur.
Çözümlü Örnek Sorular
Çözümlü Örnek Sorular
Permutasyon
A. FAKTÖRİYEL
1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir.
0! = 1 olarak tanımlanır.
1! = 1
2! = 1 . 2 = 2
3! = 1 . 2 . 3 = 6
4! = 1 . 2 . 3 . 4 = 24 
Permutasyon
A. FAKTÖRİYEL
1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir.
0! = 1 olarak tanımlanır.
1! = 1
2! = 1 . 2 = 2
3! = 1 . 2 . 3 = 6
4! = 1 . 2 . 3 . 4 = 24
5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120
6! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 = 720
.................
.................
.................
n! = 1 . 2 . 3 . ... . (n – 1) . n
- 5! = 5 . 4 . 3!5! = 5 . 4! şeklinde de yazılabilir.
- n! = n . (n – 1) . (n – 2)!n! = n . (n – 1)! şeklinde de yazılabilir.
- (3n – 1)! = (3n – 1) . (3n – 2)!(3n – 1)! = (3n – 1) . (3n – 2) . (3n – 3)! şeklinde de yazılabilir.
B. GENEL ÇARPMA KURALI
İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m . n yolla yapılabilir.
Örnek 1
A şehrinden B şehrine 4 farklı yol ve B şehrinden C şehrine 5 farklı yol vardır. B şehrine uğramak koşuluyla, A şehrinden C şehrine kaç değişik yolla gidilebilir?
A) 10B) 12C) 15D) 20
Çözüm
A şehrinden B şehrine gidiş 4 farklı yolla ve B şehrinden C şehrine gidiş 5 farklı yolla yapılabileceği için; A şehrinden C şehrine gidiş
4 . 5 = 20
farklı yolla yapılabilir.
Cevap D
C. PERMÜTASYON (SIRALAMA)
1. Tanım
r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonlarıdenir.
n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı :
dır. Biz formülün sadeleştirilmiş halini kullanacağız.
Örnek 2
- P(n, n) = n!
- P(n, 1) = n
- P(n, n – 1) = n! dir.
D. ÇEMBERSEL (DÖNEL) PERMÜTASYON
n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir.
n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı :
(n – 1)! dir.
5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120
6! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 = 720
.................
.................
.................
n! = 1 . 2 . 3 . ... . (n – 1) . n
- 5! = 5 . 4 . 3!5! = 5 . 4! şeklinde de yazılabilir.
- n! = n . (n – 1) . (n – 2)!n! = n . (n – 1)! şeklinde de yazılabilir.
- (3n – 1)! = (3n – 1) . (3n – 2)!(3n – 1)! = (3n – 1) . (3n – 2) . (3n – 3)! şeklinde de yazılabilir.
B. GENEL ÇARPMA KURALI
İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m . n yolla yapılabilir.
Örnek 1
A şehrinden B şehrine 4 farklı yol ve B şehrinden C şehrine 5 farklı yol vardır. B şehrine uğramak koşuluyla, A şehrinden C şehrine kaç değişik yolla gidilebilir?
A) 10B) 12C) 15D) 20
Çözüm
A şehrinden B şehrine gidiş 4 farklı yolla ve B şehrinden C şehrine gidiş 5 farklı yolla yapılabileceği için; A şehrinden C şehrine gidiş
4 . 5 = 20
farklı yolla yapılabilir.
Cevap D
C. PERMÜTASYON (SIRALAMA)
1. Tanım
r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonlarıdenir.
n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı :
dır. Biz formülün sadeleştirilmiş halini kullanacağız.
Örnek 2
- P(n, n) = n!
- P(n, 1) = n
- P(n, n – 1) = n! dir.
D. ÇEMBERSEL (DÖNEL) PERMÜTASYON
n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir.
n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı :
(n – 1)! dir.