Karmaşık Sayılar -11.Sınıf Matematik--isa hoca

Karmaşık Sayılar -11.Sınıf Matematik-

I. KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ

Tanım

sayısına sanal sayı (imajiner sayı) birimi denir. ve

ile gösterilir.

Uyarı

a, b pozitif gerçel sayı ve

x, y negatif gerçel sayı olmak üzere,

A. i NİN KUVVETLERİ

olmak üzere,

i⁰ = 1 dir.

i¹ = i dir.

i² = –1 dir.

i³ = i² × i¹ = (–1) × i = –i dir.

i⁴ = i² × i² = (–1) × (–1) = 1 dir.

i⁵ = i⁴ × i¹ = 1 × i = i dir.

Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, –1, –i değerlerinden birine eşit olmaktadır.

Sonuç

Sanal sayı biriminin (i nin) kuvveti x olsun. x tam sayısı 4 ile bölündüğünde,

kalan 0 ise, i^x ifadesinin eşiti 1,

kalan 1 ise, i^x ifadesinin eşiti i,

kalan 2 ise, i^x ifadesinin eşiti –1,

kalan 3 ise, i^x ifadesinin eşiti –i dir.

Buna göre, n tam sayı olmak üzere,

i⁴ⁿ= 1,

i⁴ⁿ⁺¹ = i,

i⁴ⁿ⁺² = –1,

i⁴ⁿ⁺³ = –i dir.

Tanım

a ve b birer reel (gerçel) sayı ve

olmak üzere,

z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir.

Karmaşık sayılar kümesi

ile gösterilir. Buna göre,

z = a + bi karmaşık sayısında;

a ya karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı,

b ye karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir.

z = a + bi ise

Re(z) = a

İm(z) = b

şeklinde gösterilir.

Uyarı

Her reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir karmaşık sayıdır.

Buna göre, karmaşık sayılar kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani,

dir.

B. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine eşittir.

Kural

C. KARMAŞIK SAYILARIN ANALİTİK DÜZLEMDE BELİRTİLMESİ

Reel kısmı a, imajiner kısmı b olan karmaşık sayının; z = a + ib şeklindeki gösterimine karmaşık sayının standart (cebirsel) biçimi,
Z(a, b) biçimindeki gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi denir.

Ox eksenine reel eksen, Oy eksenine de sanal (imajiner) eksen diyerek karmaşık sayıları gösterebileceğimiz karmaşık düzlemi elde ederiz.

Karmaşık sayılarla karmaşık düzlemin noktaları bire bir eşlenebilir.

z = a + bi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır.

D. KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ

ve i² = –1 olmak üzere,

a + bi ve a + (–b)i karmaşık sayılarından birine diğerinin eşleniği denir.

z karmaşık sayısının eşleniği

ile gösterilir.

Buna göre,

Kural

Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisidir.

Buna göre,

Kural

Reel kat sayılı, ax² + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri m + ni karmaşık sayısı ise diğeri m – ni sayısıdır.

E. KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ (MODÜLÜ)

Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri veya modülü denir.

z karmaşık sayısının mutlak değeri |z| ile gösterilir.

Yandaki dik üçgende Pisagor teoreminden de,

dir.

F. KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER

1. Toplama İşlemi

Karmaşık sayılar toplanırken, reel kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. Buna göre,

i² = –1 olmak üzere,

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,

2. Çıkarma İşlemi

z + (–w) = z – w

olduğuna göre, z sayısını w sayısının toplama işlemine göre tersi ile toplamak, z sayısından w sayısını çıkarmak demektir. Buna göre,

z ile w nin farkı, reel kısımların birbiri ile sanal kısımların birbiri ile farkına eşittir. Reel kısımların farkı, sonucun reel kısmını; sanal kısımların farkı, sonucun sanal kısmını verir. Buna göre,

i² = –1 olmak üzere,