I. KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ
Tanım
 sayısına sanal sayı (imajiner sayı) birimi denir. ve ile gösterilir. |
Uyarı
a, b pozitif gerçel sayı ve
x, y negatif gerçel sayı olmak üzere,
 |
A. i NİN KUVVETLERİ
olmak üzere,
i0 = 1 dir.
i1 = i dir.
i2 = –1 dir.
i3 = i2 × i1 = (–1) × i = –i dir.
i4 = i2 × i2 = (–1) × (–1) = 1 dir.
i5 = i4 × i1 = 1 × i = i dir.
Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, –1, –i değerlerinden birine eşit olmaktadır.
Sonuç
Sanal sayı biriminin (i nin) kuvveti x olsun. x tam sayısı 4 ile bölündüğünde,
kalan 0 ise, ix ifadesinin eşiti 1,
kalan 1 ise, ix ifadesinin eşiti i,
kalan 2 ise, ix ifadesinin eşiti –1,
kalan 3 ise, ix ifadesinin eşiti –i dir.
Buna göre, n tam sayı olmak üzere,
i4n= 1,
i4n+1 = i,
i4n+2 = –1,
i4n+3 = –i dir.
|
Tanım
a ve b birer reel (gerçel) sayı ve
 olmak üzere,
z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir.
Karmaşık sayılar kümesi
 ile gösterilir. Buna göre,
z = a + bi karmaşık sayısında;
a ya karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı,
b ye karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir.
z = a + bi ise
Re(z) = a
İm(z) = b
şeklinde gösterilir.
|
Uyarı
Her reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir karmaşık sayıdır.
Buna göre, karmaşık sayılar kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani,
 dir. |
B. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ
Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine eşittir.
Kural
 |
C. KARMAŞIK SAYILARIN ANALİTİK DÜZLEMDE BELİRTİLMESİ
Reel kısmı a, imajiner kısmı b olan karmaşık sayının; z = a + ib şeklindeki gösterimine karmaşık sayının standart (cebirsel) biçimi,
Z(a, b) biçimindeki gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi denir.
Z(a, b) biçimindeki gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi denir.
Ox eksenine reel eksen, Oy eksenine de sanal (imajiner) eksen diyerek karmaşık sayıları gösterebileceğimiz karmaşık düzlemi elde ederiz.
Karmaşık sayılarla karmaşık düzlemin noktaları bire bir eşlenebilir.
z = a + bi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır.
D. KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
ve i2 = –1 olmak üzere,
a + bi ve a + (–b)i karmaşık sayılarından birine diğerinin eşleniği denir.
z karmaşık sayısının eşleniği 
ile gösterilir.
ile gösterilir.
Buna göre,
Kural
Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisidir.
Buna göre,
 |
Kural
Reel kat sayılı, ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri m + ni karmaşık sayısı ise diğeri m – ni sayısıdır.
|
E. KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ (MODÜLÜ)
Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri veya modülü denir.
z karmaşık sayısının mutlak değeri |z| ile gösterilir.
 |
Yandaki dik üçgende Pisagor teoreminden de,
dir.
|
F. KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER
1. Toplama İşlemi
Karmaşık sayılar toplanırken, reel kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. Buna göre,
i2 = –1 olmak üzere,
karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,
2. Çıkarma İşlemi
z + (–w) = z – w
olduğuna göre, z sayısını w sayısının toplama işlemine göre tersi ile toplamak, z sayısından w sayısını çıkarmak demektir. Buna göre,
z ile w nin farkı, reel kısımların birbiri ile sanal kısımların birbiri ile farkına eşittir. Reel kısımların farkı, sonucun reel kısmını; sanal kısımların farkı, sonucun sanal kısmını verir. Buna göre,
i2 = –1 olmak üzere,
karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda
3. Çarpma İşlemi
Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = –1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.
z = a + bi ve w = c + di olsun. Buna göre,
Sonuç
i2 = –1 ve z = a + bi olmak üzere,
 |
Kural
i2 = –1 ve n tam sayı olmak üzere,
 |
4. Bölme İşlemi
z1 × (z2)–1 sayısına z1 in z2 ye bölümü denir ve 
biçiminde gösterilir.
biçiminde gösterilir.
Karmaşık sayılarda bölme işlemi, pay ile paydanın, paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle yapılır. Yani,
z1 = a + bi ve z2 = c + di ise,
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
A.KOSİNÜS FONKSİYONU
Birim çember üzerinde P(x,y) noktasıyla eşlenen açı α olsun. P noktasının apsisine, α reel sayısının kosinüsü denir.x=cosα olur.
Birim çemberden yararlanarak kosinüs fonksiyonunun bazı açılara karşılık değerlerini bulabiliriz.
cos0=1
cos90=0
cos180=-1
cos270=0
olduğunu görebiliriz.
Buradan anlaşılacağı üzere, kosinüs fonksiyonu [-1,1] aralığında değer alır. Bunu
-1≤cosα≤1 şeklinde ifade edebiliriz.
ÖRNEK:
cos270+cos0
toplamının değerini bulalım.
ÇÖZÜM:
Birim çemberden yararlanarak, açının 0 olduğu durumda apsis 1 olduğundan cos0=1 olur ve açıyı 270 derece dönderdiğimizde apsisi 0 olduğunu görebiliriz. cos270=0 olur.
cos270+cos0 =0+1=1 bulunur.
Özellik:
k∈Z olmak üzere, ölçüsü α ve α+2kπ olan açıların birim çember üzerinde bitim kenarları aynıdır.
O halde cosα=cos(α+2kπ) olur.
Örneğin,
cos(π/5)=cos((π/5)+2π)) olur.
B.SİNÜS FONKSİYONU
Birim çember üzerinde P(x,y) noktasıyla eşlenen açı α olsun. P noktasının ordinatına, α reel sayısının sinüsü denir.y=cosα olur.
Birim çemberden yararlanarak sinüsün bazı değerlerini bulabiliriz.
sin0=0
sin90=1
sin180=1
sin270=-1
olarak bulunur.
Gördüğümüz gibi sinüs [-1,1] arasında değer alır buna göre,
-1≤sinα≤1 olur.
Özellik:
k∈Z olmak üzere, ölçüsü α ve α+2kπ olan açıların birim çember üzerinde bitim kenarları aynıdır.
O halde sinα=sin(α+2kπ) olur.
Örneğin,
sin(π/7)=sin((π/7)+2π)) olur.
Birim Çemberden Yararlanarak,
sin2α + cos2α =1
sin 0° = cos 90° = 0 sin 90°= cos 0° = 1
sin 270° = cos 180° = –1 olduğunu görebiliriz.
C.TANJANT VE KOTANJANT FONKSİYONU
Tanjant ve Kotanjant fonksiyonunu birim çember üzerinde şekildeki gibi ifade edebiliriz.Burada, x=1 doğrusuna tanjant ekseni,y=1 doğrusuna kotanjant ekseni denir.
Tanjant ve kotanjant değerleri
– ∞ < tanα < ∞
– ∞ < cotα< ∞
aralığındadır.
TANJANT FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ
*α=0 olduğunda P noktası apsis üzerine geleceğinden, apsisle çakışır tan0=0 olur. α=180 değerininde de aynı şey olacaktır.
*α=90 olduğunda P noktası ordinatla çakışır. Bu durumda OP doğrusu x=1 doğrusuyla kesişmediğinden (parelel olduğundan) tan90=tanımsız olur. α=270 değerinde de aynı şey olacaktır.
KOTANJANT FONKSİYONUN ÖZELLİKLERİ
*α=90 olduğunda P noktası ordinatla çakışır. Bu durumda OP doğrusu x=1 doğrusuyla kesişmediğinden (parelel olduğundan) cot0=tanımsız olur. α=270 değerinde de aynı şey olacaktır.
*α=0 olduğunda P noktası apsis üzerine geleceğinden, apsisle çakışır cot0=0 olur. α=180 değerininde de aynı şey olacaktır.
BÖLGELERE GÖRE İŞARETLER
(x,y)=(cosα,sinα) olduğundan bölgelere göre değerler aşağıda belirtildiği gibidir.
Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır.
Karesi 2 olan c doğal sayısını ele alalım.
a2 = 2 ise a sayısını a = Ö2 şeklinde gösterebilir ve ‘karekök iki ‘diye okuyabiliriz.Acaba bu Ö2
sayısı hangi sayılar arasındadır?Bunu inceleyelim:
12 =11=1
(1,5)2 = 1,51,5=2.25 tir
O halde Ö2 sayısı;1< Ö2 <1,5
Buna göre Ö2 sayısı 1 ile 1,5 arasındadır,sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel sayı değildir;çünkü iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamaz.
İşte sayı ekseni üzerinde görüntüsü olduğu halde,rasyonel olmayan Ö2, Ö5 , p ,… gibi sayılara irrasyonel(rasyonel olmayan) sayılar denir.I ile gösterilir.
İrrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesinin birleşim kümesine de reel (gerçek) sayılar denir.
R=Q U I Q ∩ I =O
N ZQ R I R
R+=Pozitif reel sayılar
R-=Negatif reel sayılar
R= R- U {0} U R+
Reel sayılar sayı eksenini tamamen doldurur.Sayı doğrusunda her noktaya bir reel sayı karşı gelir,yani sayı doğrusu ile reel sayılar kümesi bire bir eşlenebilir.
a bir pozitif reel sayı olmak üzere; Öa = b ifadesine kareköklü ifade denir.
a bir gerçek(reel) sayı ve m ,1 den büyük bir tamsayı ise mÖa sayısına ,a sayısının m inci kuvvetten kökü denir.m sayısına da kökün derecesi denir.
Öa da, kök derecesi 2 dir.
Üslü sayılar konu anlatımı içeriği; Üslü sayıların gösterimi, Negatif üslü sayılar, Üslü sayılar ve Özellikleri, Üssün üssü, Tek Veya Çift Kuvvetler, Çok Büyük Ve Çok Küçük Sayılar, Üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi, Üslü sayılarda çarpma, Üslü sayılarda bölme işlemi, Üslü sayılar ile ilgili örnek sorular içermektedir.ÜSLÜ SAYILAR
Üslü sayılar yandaki şekilde de gösterildiği üzere; n tane a sayısının çarpımı an ile ifade edilir. Bu ifadeye üslü sayı denir. Örnekler:
32 = 3 . 3 = 9
53 = 5 . 5 . 5 = 125
(- 2) 3 = (- 2) . (- 2) . (- 2) = - 8
Negatif Üs
Bir tam sayının üssü negatif ise bu sayı rasyonel olarak ifade edilir.
Örnek: 2 -3 = 1 / 8
Rasyonel bir sayının üssü negatif ise verilen rasyonel sayı ters çevrilir.
Örnek: (2 / 3) -3 = (3 / 2) 3 = 27 / 8
Üslü sayılarda negatif üssün görevi tabandaki sayıyı ters çevirmektir. Tabandaki sayının işaretini etkilemez.
Bir tam sayının üssü negatif ise bu sayı rasyonel olarak ifade edilir.
Örnek: 2 -3 = 1 / 8
Rasyonel bir sayının üssü negatif ise verilen rasyonel sayı ters çevrilir.
Örnek: (2 / 3) -3 = (3 / 2) 3 = 27 / 8
Üslü sayılarda negatif üssün görevi tabandaki sayıyı ters çevirmektir. Tabandaki sayının işaretini etkilemez.
ÜSLÜ SAYILARIN ÖZELLİKLERİ
Sıfır hariç her rasyonel sayının sıfırıncı kuvveti, daima (+1)' dir. Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.
Her sayının birinci kuvveti yine kendisine eşittir. Örnekler:
91 = 9
(-0,5)1 = -0,5
(5/7)1 = 5/7
Rasyonel sayıların üslü sayı olarak yazılması;
Tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir. Payın kuvveti alınarak paya yazılır. Paydanın kuvveti alınarak paydaya yazılır.
Ondalık kesirlerin üslü olarak yazılması;
(-0,5) . (-0,5). (-0,5) = ( -0,5)3 = -0,125
Sıfır hariç her rasyonel sayının sıfırıncı kuvveti, daima (+1)' dir. Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.
Her sayının birinci kuvveti yine kendisine eşittir. Örnekler:91 = 9
(-0,5)1 = -0,5
(5/7)1 = 5/7
Rasyonel sayıların üslü sayı olarak yazılması;
Tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir. Payın kuvveti alınarak paya yazılır. Paydanın kuvveti alınarak paydaya yazılır.
Ondalık kesirlerin üslü olarak yazılması;(-0,5) . (-0,5). (-0,5) = ( -0,5)3 = -0,125
ÜSSÜN ÜSSÜ
Üslü bir sayının tekrar üssü alınırken; Taban aynen yazılır. Üsler çarpılarak tabana üs olarak yazılır. Üsleri çarpanken işaretlere dikkat ederek çarpınız. Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.
Üslü bir sayının tekrar üssü alınırken; Taban aynen yazılır. Üsler çarpılarak tabana üs olarak yazılır. Üsleri çarpanken işaretlere dikkat ederek çarpınız. Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.
TEK VEYA ÇİFT KUVVETLERPozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir. Örnek: +24 = 16
Negatif sayıların tek kuvvetleri negatiftir. Örnek: (-3) 3 = -27
Negatif sayıların çift kuvvetleri ise pozitiftir. Örnek: (-3) 4 = +81
(-1)' in çift kuvvetleri (+1) , tek kuvvetleri ise (-1) dir.
Negatif sayıların tek kuvvetleri negatiftir. Örnek: (-3) 3 = -27
Negatif sayıların çift kuvvetleri ise pozitiftir. Örnek: (-3) 4 = +81
(-1)' in çift kuvvetleri (+1) , tek kuvvetleri ise (-1) dir.
ÇOK BÜYÜK VE ÇOK KÜÇÜK SAYILAR
Gezegenlerin Güneş'e olan uzaklıkları, Dünya'nın kütlesi gibi bilgileri öğrenirken bunların çok büyük sayılar ile ifade edildiğini görürüz. "a" gerçek sayı, 1 ≤ a < 10 ve n pozitif tam sayı olmak üzere a x 10n gösterimi, çok büyük sayıların bilimsel gösterimidir. Örneğin; 54 000 000 000 000 sayısının bilimsel gösterimi 5,4 x 1013 şeklindedir.
Maddeyi oluşturan taneciklerin kütleleri, bir virüsün uzunluğu gibi bilgiler çok küçük sayılar ile ifade edilirler. "a" gerçek sayı, 1 ≤ a < 10 ve n pozitif tam sayı olmak üzere a x 10-n gösterimi, çok küçük sayıların bilimsel gösterimidir. Örneğin; 0,000000032 sayısının bilimsel gösterimi 3,2 x 10-8 şeklindedir.
ÜSLÜ SAYILARDA DÖRT İŞLEMGezegenlerin Güneş'e olan uzaklıkları, Dünya'nın kütlesi gibi bilgileri öğrenirken bunların çok büyük sayılar ile ifade edildiğini görürüz. "a" gerçek sayı, 1 ≤ a < 10 ve n pozitif tam sayı olmak üzere a x 10n gösterimi, çok büyük sayıların bilimsel gösterimidir. Örneğin; 54 000 000 000 000 sayısının bilimsel gösterimi 5,4 x 1013 şeklindedir.
Maddeyi oluşturan taneciklerin kütleleri, bir virüsün uzunluğu gibi bilgiler çok küçük sayılar ile ifade edilirler. "a" gerçek sayı, 1 ≤ a < 10 ve n pozitif tam sayı olmak üzere a x 10-n gösterimi, çok küçük sayıların bilimsel gösterimidir. Örneğin; 0,000000032 sayısının bilimsel gösterimi 3,2 x 10-8 şeklindedir.
Üslü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi
Tabanları ve üsleri aynı olan üslü sayılara benzer üslü sayılar denir. Üslü sayılar toplanırken veya çıkarılırken; Benzer üslü sayıların katsayıları toplanır veya çıkarılır. Bulunan sonucun yanına benzer üslü sayı yazılır. Soldaki örneği inceleyiniz. Örneğimizde altı turuncu çizili 10 üssü 7 ifadesi benzer üslü sayıdır. Bu ifadenin baş katsayıları toplanıp çıkarılarak sonuca yazılmıştır.Benzer üslü sayı ise çarpım olarak yanına yazılmıştır. Üslü sayılarda toplama ve çıkarma işleminde kural aynıdır. Benzer üslü sayılar toplanıp çıkarılabilir. Bu işlem ise benzer üslü çoklukların baş katsayıları ile yapılır. Benzer üslü ifade aynen sonuca yazılır.
Üslü Sayılarda Çarpma İşlemi
Üslü sayılarda çarpma işlemi yaparken, çarpılan üslü sayıların tabanları aynı üsleri farklı ise; ortak taban, taban olarak yazılır. Üsler toplanarak ortak tabana üs olarak yazılır. 1, 2 ve 3. örnekleri inceleyiniz.Tabanları farklı, üsleri aynı olan üslü sayılar çarpılırken; Tabanlar çarpılıp taban olarak yazılır, ortak üs tabana üs olarak yazılır (Örnek 4). Tabanları ve üsleri farklı olan üslü sayılar çarpılırken; önce sayıların kuvvetleri alınır. Sonra çarpma işlemi yapılır (Örnek 5).
Üslü Sayılarda Bölme İşlemi
Üslü sayılarda bölme işlemi yaparken, üslü sayıların tabanları aynı üsleri farklı ise; ortak taban, taban olarak yazılır. Üsler çıkarılarak ortak tabana üs olarak yazılır. 1, 2 ve 3. örnekleri inceleyiniz. Üç farklı örnekle göstermemin sebebi; yapılan işaret hatalarını engellemek içindir. Negatif üslere çok dikkat ediniz.
Tabanları farklı, üsleri aynı olan üslü sayılar bölünürken; Tabanlar bölünüp taban olarak yazılır, ortak üs tabana üs olarak yazılır. 4. örneği inceleyiniz.
Tabanları ve üsleri farklı olan üslü sayılarda bölme işlemi yapılırken; ilk önce verilen üslü sayıların kuvvetleri alınır. Daha sonra bu sayılar arasında bölme işlemi yapılır. Örnek 5'i inceleyiniz.
Üslü sayılar ünitesini tamamladığınızda; Bir tam sayının negatif kuvvetini belirleyebilecek ve rasyonel sayı olarak ifade edebilecek, ondalık kesirlerin veya rasyonel sayıların kendileriyle tekrarlı çarpımını üslü sayı olarak yazabilecek ve değerini belirleyebilecek, üslü sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini yapabilecek, çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade edebileceksiniz